Métodos numéricos com Python: fundamentos da computação científica

Grande parte dos problemas modernos da computação depende de aproximações matemáticas.

Em diversas situações:

• soluções analíticas são complexas;
• equações não possuem solução exata;
• cálculos seriam inviáveis manualmente.

É nesse contexto que entram os métodos numéricos.

Métodos numéricos são técnicas matemáticas utilizadas para resolver problemas através de aproximações computacionais.

Eles estão presentes em:

• engenharia;
• física;
• machine learning;
• gráficos computacionais;
• modelagem científica;
• simulações;
• ciência de dados.

Neste artigo vamos explorar os principais conceitos e métodos utilizados em computação numérica utilizando Python.

O que é computação numérica?

Computação numérica é a área responsável por resolver problemas matemáticos utilizando algoritmos computacionais.

Em vez de trabalhar apenas com soluções exatas, métodos numéricos trabalham com:

• aproximações;
• estimativas;
• convergência;
• precisão.

Fluxo da computação numérica

flowchart LR
    Problema[Problema Matematico]
    Modelo[Modelo Numerico]
    Algoritmo[Algoritmo]
    Computador[Computacao]
    Resultado[Resultado Aproximado]

    Problema --> Modelo
    Modelo --> Algoritmo
    Algoritmo --> Computador
    Computador --> Resultado

Representação numérica em computadores

Computadores representam números utilizando bits.

Por isso, nem todos os valores reais conseguem ser armazenados exatamente.

Exemplo clássico

print(0.1 + 0.2)

Resultado:

0.30000000000000004

Erros numéricos

Métodos computacionais sempre possuem algum nível de erro.

Tipos comuns

Fluxo de erro numérico

flowchart TD
    Numero[Numero Real]
    Binario[Representacao Binaria]
    Aproximacao[Aproximacao]
    Resultado[Resultado Computacional]

    Numero --> Binario
    Binario --> Aproximacao
    Aproximacao --> Resultado

Python e computação científica

Python possui um ecossistema extremamente forte para computação numérica.

Bibliotecas principais

Instalando bibliotecas

pip install numpy scipy matplotlib sympy

Vetores e matrizes

Grande parte da computação numérica depende de vetores e matrizes.

Exemplo com NumPy

import numpy as np

vetor = np.array([1,2,3])

Matrizes

matriz = np.array([
    [1,2],
    [3,4]
])

Álgebra linear

Álgebra linear é fundamental em:

• machine learning;
• gráficos computacionais;
• física;
• engenharia.

Fluxo da álgebra linear

flowchart LR
    Vetores[Vetores]
    Matrizes[Matrizes]
    Operacoes[Operacoes]
    Resultado[Resultado]

    Vetores --> Operacoes
    Matrizes --> Operacoes
    Operacoes --> Resultado

Sistemas lineares

Um dos problemas mais comuns da computação científica é resolver sistemas lineares.

Exemplo

$$ \begin{cases} 2x + y = 8 \ \newline x + 3y = 13 \end{cases} $$

Resolvendo sistemas com NumPy

A = np.array([
    [2,1],
    [1,3]
])

b = np.array([8,13])

x = np.linalg.solve(A, b)

print(x)

Métodos iterativos

Métodos iterativos trabalham através de aproximações sucessivas.

Exemplos

• Jacobi;
• Gauss-Seidel;
• Newton-Raphson.

Método de Jacobi

O método de Jacobi utiliza aproximações sucessivas para resolver sistemas lineares.

Fluxo simplificado

flowchart TD
    Chute[Chute Inicial]
    Iteracao[Iteracao]
    Aproximacao[Aproximacao]
    Convergencia{Convergiu?}

    Chute --> Iteracao
    Iteracao --> Aproximacao
    Aproximacao --> Convergencia
    Convergencia -->|Nao| Iteracao

Método de Newton-Raphson

O método de Newton é utilizado para encontrar raízes de funções.

Fórmula

$$ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f’(x_n)} $$

Fluxo do método de Newton

flowchart TD
    Chute[Valor Inicial]
    Funcao[Funcao]
    Derivada[Derivada]
    NovoValor[Nova Aproximacao]

    Chute --> Funcao
    Funcao --> Derivada
    Derivada --> NovoValor

Exemplo em Python

import math

x = 1

for i in range(5):
    x = x - ((x**2 - 2)/(2*x))

print(x)

Interpolação

Interpolação busca estimar valores intermediários.

Aplicações

• gráficos;
• simulações;
• modelagem;
• processamento de sinais.

Interpolação linear

A interpolação linear utiliza uma reta entre dois pontos.

$$ f(x) = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x - x_0) $$

Integração numérica

Nem sempre integrais possuem solução analítica simples.

Por isso, métodos numéricos são utilizados.

Métodos comuns

Método dos trapézios

$$ \int_a^b f(x),dx \approx \frac{h}{2}\bigl(f(a) + f(b)\bigr) $$

Fluxo da integração numérica

flowchart LR
    Funcao[Funcao]
    Divisao[Divisao Intervalo]
    Aproximacao[Aproximacao]
    Resultado[Integral Aproximada]

    Funcao --> Divisao
    Divisao --> Aproximacao
    Aproximacao --> Resultado

Derivação numérica

Também podemos aproximar derivadas.

Aproximação simples

$$ f’(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$

Equações diferenciais

Equações diferenciais aparecem em:

• física;
• engenharia;
• biologia;
• economia.

Método de Euler

O método de Euler é utilizado para aproximar soluções de equações diferenciais.

Fórmula

$$ y_{n+1} = y_n + h,f(x_n, y_n) $$

Fluxo do método de Euler

flowchart TD
    ValorInicial[Valor Inicial]
    Passo[Passo h]
    Aproximacao[Aproximacao]
    Resultado[Resultado]

    ValorInicial --> Passo
    Passo --> Aproximacao
    Aproximacao --> Resultado

Visualização de resultados

Visualização é extremamente importante em computação científica.

Exemplo com Matplotlib

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot([1,2,3],[1,4,9])
plt.show()

Simulações

Métodos numéricos são muito utilizados em simulações.

Áreas comuns

• clima;
• física;
• engenharia;
• IA;
• modelagem científica.

Pipeline científico

flowchart LR
    Modelo[Modelo Matematico]
    Dados[Dados]
    Metodo[Metodo Numerico]
    Computacao[Computacao]
    Analise[Analise]

    Modelo --> Metodo
    Dados --> Metodo
    Metodo --> Computacao
    Computacao --> Analise

Computação numérica e machine learning

Grande parte do machine learning moderno depende diretamente de métodos numéricos.

Exemplos

• gradiente descendente;
• otimização;
• álgebra linear;
• derivadas;
• funções de custo.

Conceitos importantes aprendidos

Projetos de computação numérica ajudam bastante no aprendizado de:

• matemática aplicada;
• álgebra linear;
• otimização;
• algoritmos científicos;
• modelagem computacional.

Possíveis evoluções

Depois dos conceitos básicos, várias áreas podem ser exploradas.

Exemplos

• machine learning;
• computação paralela;
• CUDA;
• simulações físicas;
• computação científica avançada.

Conclusão

Métodos numéricos são fundamentais para a computação moderna.

Grande parte das aplicações científicas, gráficas e de inteligência artificial depende de aproximações computacionais.

Mesmo estudos introdutórios ajudam bastante no entendimento de:

• modelagem matemática;
• algoritmos científicos;
• precisão computacional;
• otimização.

Além disso, computação numérica cria uma excelente base para áreas como ciência de dados, IA, engenharia e computação científica.

Referências

• https://cn.ect.ufrn.br/
• https://numpy.org/
• https://scipy.org/
• https://matplotlib.org/
• https://www.sympy.org/
• https://github.com/MariaCarolinass/computacao-numerica